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DIAS ONLINE

21 octubre, 2008

Las proporciones en la arquitectura



Para empezar ...

... una cuestión de conceptos:

a. la relación proporcional es una relación entre dos cantidades, que se expresa en un cociente.

b. la proporción, o "ratio", es la igualdad de relaciones proporcionales entre dos pares de cantidades.

c. para una proporción se requieren tres magnitudes: dos extremos y un término medio, llamado "media".

d. los antiguos griegos inventaron un sistema de proporciones cuyas leyes fijó Pitágoras y que fueron usadas durante muchos siglos en las Matemáticas, la Música y en la Arquitectura.


LAS IDEAS DEL NEOPLATONISMO RENACENTISTA

Rudolf Wittkower, crítico y estudioso de historia del arte, recoge en la parte IV de su libro "Los fundamentos de la arquitectura en la edad del humanismo", (Alianza Forma, 2002) un estudio sobre la proporcionalidad en la arquitectura.

Señala que ya Vitrubio había exigido que el edificio debía respetar las proporciones del cuerpo humano, porque expresan el orden cósmico. ¿Pero cuáles son sus leyes?, ¿qué relaciones matemáticas hay entre le macrocosmos y el microcosmos?

La respuesta había sido revelada por Pitágoras y Platón, cuyas ideas pervivieron durante la Edad Media y resurgieron en el Renacimiento.

Así, Luca Paccioli, en su obra "De divina proportione", de 1496, formuló lo que se consideraba la proporción privilegiada, con el nombre de «sección áurea» y que se suele usar en muchas aplicaciones actuales.

Decía Paccioli que la armonía entre dos dimensiones era considerada perfecta cuando "ambas estaban entre sí en la misma proporción que la mayor de ellas y la suma de las dos".

Es decir, si las dos magnitudes son X e Y, siendo X la menor,

tenemos X/Y=Y/X + Y.

Si damos a X un valor X=1,

tenemos: X/Y=Y/1 + Y;

De donde se sigue Y2 - Y-1=0;

Y= (1+√5) / 2=1,61083 ( = número áureo).

Francesco Giorgi, había publicado en 1525 un extenso tratado sobre la armonía del universo que, según Wittkower, tuvo mucha influencia en todo el XVI, también en Francia y en España. En un Memorandum emitido sobre la iglesia de S. Francesco de Venecia, (véase "Apéndice I" del libro de Wittkower antes citado) dice:

la nave sea de nueve pasos, ya que nueve es el cuadrado de tres (número primo e divino) ya que el tres es el primer número verdadero porque tiene un comienzo, un medio y un final; como símbolo de la Trinidad es un número divino; longitud de la nave debe ser de 27 pasos (tres veces nueve)”.

PITÁGORAS Y el neoplatonismo

Pero

"El cuadrado y el cubo de tres, sigue Giorgi, reflejan las consonancias del universo, tal como Platón había demostrado en el Timeo; en términos musicales la proporción 9:27 es un diapasón y un diapente: un diapasón es una octava y un diapente es una quinta ya que de 9:18:27 salen la proporción 1:2, o sea una octava y sale también 18:27, o sea 2:3, una quinta".

Estos razonamientos están basados en las leyes físicas de la Música, estudiadas por Pitágoras que había observado que al hacer vibrar dos cuerdas, una de ellas la mitad de larga que la otra el sonido producido es una octava más alto que el otro (un diapasón), en razón de 1:2; si se hace el experimento con otras medidas se puede obtener la quinta si la razón es de 2:3 (diapente) y la cuarta (diatesarón) si la razón es de 3:4. Por tanto, de las distintas medidas de las cuerdas, se deducen distintos sonidos y proporciones.

El pintor Rafael recoge este tema en su famoso cuadro "La Escuela de Atenas" en que aparece Pitágoras, en el ángulo inferior izquierdo, explicando la tabla de las proporciones en que se incluyen las básicas de 6, 8, 9 y 12 que se refieren a diapente, diatesarón y diapasón, y también el tono entre el 8 y el 9, como puede observarse en el detalle ampliado, tomado de Wittkower.

Wittkower dice que este descubrimiento asombroso de Pitágoras “hiciera a la gente creer que se había descubierto la clave de la misteriosa armonía rectora del universo. Sobre esta base se edificó gran parte del simbolismo y el misticismo de los números, un edificio intelectual que iba a causa un enorme impacto en el pensamiento humano durante los mil años posteriores” Platón recogió estos conocimientos en su Timeo.

Este sistema musical fue propagado entre otros por el célebre Gafurio, que Wittkower recoge enseñando a sus discípulos en el gráfico siguiente. Nótese la definición de la armonía que Gafurio entiende como la "concordia de la discordia".

El sistema proporcional basado en la Música se puede observar en el siguiente diagrama elaborado por Wittkower pero que resume el estudio de Zarlino, gran teórico veneciano del XVI:

"Divisione harmonica della Diapason nelle sue parti", de Zarlino (1588)


PALLADIO Y LOS ESPACIOS

Tema central es la solución de las proporciones en los espacios interiores.
Wittkower recoge también las ideas de Palladio sobre la “proporción racional” para la armonía de los espacios en el primero de sus "Quattro Libri":

Según Palladio, los modelos de proporción para la solución de alto, ancho y largo deberían ser:

1. una habitación de 6 por 12 pies, debe tener 9 pies de alto, según la relación 2:3:4, que es una aplicación de la media aritmética; la relación se construye mediante la fórmula: b-a = c-b;

2. una habitación con 4 por 9 pies, debe tener 6 de alto, según la relación 4:6:9, que es una aplicación de la media geométrica, cuya fórmula es: a/b = b/c

3. una habitación con 6 por 12 pies, debe tener una altura de 8, según la relación 6:8:12, que es una aplicación de la media “armónica”, cuya fórmula es (b-a)/a = (c – b)/c. Es decir, en este caso, la media 8 excede a 6 en un 1/3 de 6 y es superada por 12 en 1/3 de 12.


ESTAS IDEAS EN ESPAÑA

Wittkower señala que también los arquitectos hispanos se empaparon de estas ideas ya que al parecer España contaba con una larga tradición en lo que respecta a la aplicación de las proporciones musicales a la arquitectura. Simón García en su "Compendio de arquitectura y simetría de los templos conforme a la medida del cuerpo humano", de 1681, defiende este sistema de proporciones, como lo había hecho Giorgi.

El tratado de García era una recopilación de textos de Rodrigo Gil de Hontañón (1500-77), arquitecto vinculado a la construcción de las catedrales de Salamanca y Segovia.

También Juan de Herrera, aplicó proporciones musicales a su diseño de la catedral de Valladolid.

VILLALPANDO

Antes de que acabara el XVI, Juan Bautista Villalpando (jesuita, 1522-1608) desarrolló estas ideas demostrando un grado de erudición casi increíble. Su extenso comentario de Ezequiel, incluye la reconstrucción más famosa del templo de Salomón. “En realidad lo que Dios había revelado a Salomón era, según Villalpando, la armonía musical platónica”.
El sistema de Villalpando carece por completo de fisuras. Después de analizar las tres medias proporcionales e insistir en la presencia de proporciones armónicas en todo el edificio, concluye con la habitual referencia a la música. Sigue explícitamente el Comentario de Vitrubio de Barbaro al aceptar solamente las tres consonancias pitagóricas simples y las dos compuestas –diatesarón, diapasón, diapente, diapasón con diapente y disdiapasón-, y rechaza la sexta consonancia de
Vitrubio, el diapasón con diatesarón.


APLICACIONES

Aplicación del NÚMERO ÁUREO: Y=1+√5/2=1,61083.

Esta proporción se puede cumplir en muchas figuras geométricas, como en el rectángulo y triángulo siguientes:

Las mismas razones existen en el Partenón (siglo V antes de C.)

Se puede comprobar que la mayoría de los rectángulos que nos encontramos en nuestra vida cotidiana son áureos, o se acercan mucho a esta proporción, midiendo el D.N.I., un libro, o cualquier otro rectángulo.

Se divide la medida más larga entre la más corta y se comprueba si da un número aproximado.


EL CUERPO HUMANO

También los cuerpos humanos exhiben proporciones cercanas a la razón áurea, como puede verse comparando la altura total de una persona con la que hay hasta su ombligo.

Ilustración:
El hombre de Vitrubio
de
Leonardo da Vinci

A la figura se le han añadido las líneas a y b que representan, respectivamente la altura hasta el ombligo (a) y la altura total (b).

Se puede comprobar esta proporción en el propio cuerpo.

LA RUPTURA CON LAS LEYES DE LA ARMONIA

Este sistema proporcional se mantuvo bajo Kepler y Galileo, pero desde mediados del XVIII se empieza a poner en duda. Según Wittkower, quien mejor expresó estas críticas fue el filósofo Hume, para quien "todo razonamiento no es más que una especie de sensación" cambiando así la dirección de la estética desde lo objetivo hacia lo subjetivo, de modo que la belleza no depende del objeto, siempre que dicho objeto concuerde con la armonía universal. Afirma que la reglas artísticas derivan de la experiencia y de "los sentimientos comunes a toda la humanidad".

Burke en 1757 niega que la belleza tuviera "algo que ver con el cálculo y la geometría".

Desde este momento la "proporción se convirtió en un asunto de sensibilidad individual, y el arquitecto se liberó por completo de la esclavitud de las proporciones matemáticas".

El teórico Ruskin en 1849 en su libro "Las siete lámparas de la arquitectura" declaró que había tantas proporciones posibles como melodías musicales y que debía dejarse en manos de la inspiración del artista la invención de proporciones bellas.

La demolición del sistema clásico se concluye con ataques como "han recurrido a combinaciones cabalísticas, a no sé qué propiedades misteriosas de los números o, más aún, a analogías como las que encuentra la música entre las numerosas vibraciones que determinan los acordes. No son más que quimeras. ... Las proporciones son infinitas". Estas son algunas frases de un texto francés de 1915 usado en la Ecole de Beaux-Arts de París que recoge Wittkower.


LE CARBUSIER

El arquitecto y pintor suizo-francés, Charles-Edouard Jeanneret (1887-1965), apodado Le Corbusier, establecerá su uso como un referente ineludible desde sus primeros trabajos, llegando, luego de una intensa tarea de investigación, a establecer un sistema de proporciones propio que denominó El Modulor, y que se basaba en “la altura del hombre con el brazo levantado”.

Le Corbusier estableció dos series de números proporcionales: la primera, Serie Roja, se obtenía a partir de la medida 113 (113= 226/2) y su sección áurea; la segunda o Serie Azul partía de la altura de un hombre de seis pies con el brazo levantado (226) a la que se determinaba también su sección áurea.

Le Corbusier elabora una parrilla de proporciones según los criterios siguientes:

1. La parrilla parte de tres medidas: 113, 70, 43 (en cm), que están en relación Ø (áurea) 43+70=113, ó 113-70=43.

Adicionadas dan: 113+70=183 (la altura del hombre promedio según L.C.); 113+70+43=226 (hombre con el brazo arriba).

  • 2. SERIE ROJA: toma la medida 113 proporciona la sección áurea 70; los números son: 4-6-10-16-27-43-70-113-183-296, etc.
  • 3. SERIE AZUL: toma la medida 226 (113x2) proporciona la sección áurea 140-86: los números son: 13-20-33-53-86-140-226-366-592, etc.

    MARSELLA

    La Unité d' habitation de Marsella es la obra más importante realizada por medio del modulor y que atestigua los recursos de esta gama de intervalos armónicos.

    En 1946, el profesor Albert Einstein había escrito a Le Corbusier, en la noche misma que siguió a su encuentro en Princetown, a propósito del modulor: "Es una gama de dimensiones que facilita el bien y dificulta el mal".

    Sin embargo, el sistema pronto mostrará su carácter excesivamente genérico y machista (puesto que parte de las medidas de un hombre atlético y viril de 1,83m de altura), y el mismo Le Corbusier dejará de utilizar las series de medidas del Modulor.

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